世界杯期间预测球赛结果的足球彩票成为人们新的娱乐方式，下面我们通过改版的足球彩票模型，希望可以帮助投资者朋友们更加了解期权。
一
足球彩票与期权
假设中国足球队将出战 2022 年的世界杯（这只是个美丽的假设），那么根据每场比赛的特点将会发生哪些事情呢？
首先，模型与实际的足球彩票规则最大的不同是它可以被自由买卖。也就是说除了彩票公司可以销售足球彩票之外，普通人也可以自由交易手中的足球彩票。
足球彩票又分两种，一种是赌中国队赢，一种是赌中国队输。因为两种彩票既可以买又可以卖，它的价格将由需求和供给均衡点来决定。模型中我们假设彩票只有在球赛开始到比赛结束这段时间可以流通。预测获胜的彩票种类如下：
0W,1W,2W,3W,4W,5W。
1W 的票表示中国队以 1 个球以上获胜，才能获得收益。如果中国对以 2:1 或者 3:2 获胜，因为比分差正好为 0，那么彩票的价值也成为废纸。如果以 2:0 或者 3:1 结束，比分差为 2 大于 1，那么彩票的价值为 1。中国队与对手踢平或者踢输，彩票的价值也会成为 0。为了方便计算，假设每一点的收益为点数乘上 1 万元。
所以对拥有 1W 足彩的人，如果中国队的比分为 3:1 或者 2:0 等情况下，那么在比赛结束后可以获得 1 万元收益。相反卖出 1W 足彩的人在赛后会有 1 万元的亏损。但到手的收益可能不是 1 万元整，因为收益还要扣除足球彩票的成本价格，当然卖出彩票的一方的亏损也需要补上卖出彩票时收到的价格减轻亏损。
假如票价为 1000 元，那么买入足球彩票的人将会获得 9000 元的收益，卖出足球彩票的人将会有 9000 元的损失。
那么，2W 的足球彩票会如何？排除彩票的价格，因为上述的比赛结果正好是净胜2球，则 2W 的的彩票将会获得 0 元的收益。同样的道理，3W,4W,5W 等足球彩票在比赛结束后，价值都会成为 0 元。上图。
图：1W票的价值
我们可以把任意一张彩票以统一的格式表示出来。例如 0W,1W,2W,3W,4W,5W 等种类可以表示成 xW，这里的 x 表示 {0,1,2,3,4,5} 中的一个特定值。
以中国队为例，假设中国队与对手之间的比分之差为 S，则S将会有如下可能 {… − 5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5…}。如果 S = −1 说明中国队以 1 分之差输于对手。这样的假设条件下，比赛结束后上述足球彩票的价格将会是 max(S −x,0)。这里的 max(a,b) 公式表示的是从 ab 之间选择更大数值的意思。
如果中国队以 3:1 的比分结束比赛，则 S = 2，0W 彩票的 x = 0，那么最终足球彩票最大的收益将会是 max(2−0,0) =max(2,0) = 2 个点。如果每点的乘数是 1 万元，则足球彩票的收益将会是 2×10000 = 2万元。
假设预测中国队输球的彩票种类有 ：
−0L,−1L,−2L,−3L,−4L,−5L 等等。−1L 表示中国队以 1 球以上的分数差落败时将获得比分差乘上 1 万元后的收益的彩票。如果中国队以 1:3 的比分落败，那么就会获得 1 万元的收益。
同样把落败彩票标为 xL，那么在比赛结束后彩票的收益将会是 max(S − x,0)。如果我买的是中国队输 2 球的 −2L 彩票，当中国队以 3 球遗憾落败（S = −3）时，我手中彩票的收益将会是 max(−2−(−3)0) =max(1,0) = 1 个点。
在这些假设条件下，下面我们来了解一下足球彩票价格的特点以及影响足球彩票价格的因素都有哪些。下图是买入 −1L 足球彩票在球赛结束后根据比分差而可能产生的收益。可以看出与上面的图有非常明显的对称性。
图：-1L票的价值
二
比分情况与足球彩票的种类
假设比赛刚刚开始，比分 0:0，双方争夺非常激烈。这时我们来比较一下 1W 和 5W 彩票的价格。1W 指的是只要赢 1 球以上就有收益。换句话说，如果只赢 1 球则收益为 0，以 2:0 的比分赢则收益为 1 万元；以 3:0 的比分赢则收益为 2 万元。
5W 的足球彩票只有在赢 5 球以上时才可产生盈利。当然赢 5 球以上的概率比赢 1 球要小很多，所以 1W 的价格自然比 5W 的价格更高。随着时间的流逝，中国队以 1:0 领先。这时我们再来比较一下 2W 和5W 足球彩票的价格。
和刚才一样，5W 的价格会比 2W 的价格低。但与刚开球时 0:0 的情况相比，赌中国队赢的彩票价格应该会整体上涨，因为赌中国队获胜的概率比开球时变大了。相反赌中国队输球的0L,−1L,−2L,−3L,−4L,−5L 彩票价格将会回落。
0W,1W,2W,3W,4W,5W足球彩票我们可以看做是看涨期权，相反 0L,−1L,−2L,−3L,−4L,−5L 等足球彩票可以看做是看跌期权。0W,1W,2W,3W,4W,5W 相当于看涨期权的行权价，行权价越高，期权价格越低，这样的期权被称为虚值期权。开球 0:0时，0W 就是平直期权。随着比赛的进行，比分也在不断的变化，而这里的比分情况就相当于期权的标的资产价格。那么对这些彩票价格产生影响的因素都有哪些呢？
不确定性
不确定性由两个因素产生。首先不确定性与时间有关。没有任何剩余时间，就不会有不确定性存在。如果比赛时间还剩很多，那么即使与强队对抗，仍然会有机会产生意外的结果。另外不确定性与购买彩票之人的心理状态有密切关系。
当人们在比赛途中忽然觉得中国队获胜的可能性变大，随之愿意购买 1W 彩票的人数就会变多，1W 彩票的价格也会上涨。因此不确定性分析可以按客观上的比赛剩余时间和主观上的彩票购买者心理因素来分析。
三
足球彩票的不确定性因素
客观因素：剩余时间
我们来比较一下开球第一分钟和比赛结束前一分钟的彩票价格。开球后的一分钟，比赛结果具有所有的可能性。中国队可能大获全胜，也有可能大败而归，可能以一分之差险胜，也有可能以一分之差惜败。但，如果是比赛结束前一分钟，那么保持现有比分的可能性最大。
比赛结束前一分钟比分仍然为 0:0，那么这时 1W 的彩票价格会比开球第一分钟内的 1W 的价格更便宜。因为以一分之差获胜的可能性会变得很小。剩余时间对彩票价格的影响与比赛结果的不确定性有关。剩余时间越多则不好准确预测比赛的结果，相反如果剩余时间非常短，那么预测准确的可能性就会变大。
离比赛结束时间越近彩票价格越来越便宜，这种现象在期权中称之为时间价值的减少，具体表现为离期权到期日越近期权价格逐渐变小。不论是彩票购买者还是彩票售出者，剩余时间对于他们都是相同的，是客观存在的因素。
主观因素：市场的评价
一般情况下如果对手方比中国队弱，那么赌中国队获胜的彩票价格将会变高。如果对手是世界排名前几的巴西队，那么赌中国队赢的足球彩票的价格将会回落。
但，如果很多人因为爱国之心而都去购买中国队获胜的彩票的话，0W,1W,2W,3W,4W,5W 足球彩票价格同样会上升。球赛过程是变幻莫测的，如果中国队主宰着比赛，即使没有进球，中国队赢的票价会上涨。
相反如果中国队只有被动的防守，即使没有进球，中国队输的票价会上涨。人们的球赛氛围对比赛结果的期待是不同的，所以票价也会变化。虽然不知道具体原因，即使市场没有太大波动，市场参与者都比较倾向于高估看涨期权和看跌期权。这时期权价格的变化是随着波动率（隐含波动率）的变化而变化的。
这种现象主要是由市场参与者对市场的主观判断发生变化而产生的。这样的变化在期权中称之为隐含波动率或者 vega 效果。在期权市场中波动率变大则看涨期权与看跌期权的价格都会上涨。波动率大说明任意方向变动的可能性都大。
如果赢3 球以上的可能性变大，那么输 3 球以上的可能性也会变大，进而提升所有足球彩票的价格。相反如果认为波动率将会变小，则说明维持现有比分的可能性变高，进而使所有足球彩票价格回落。
不确定性越大彩票的价格将会越高，而不确定性又分为客观因素（剩余时间）和主观因素（对市场的判断）。如何控制不确定性以及怎样将这样的不确定性运用到策略中，这些问题值得我们去探讨。
四
期权价格的决定因素
通过足球彩票模型中可以看出，足球彩票的价格是由比分情况，足球彩票的种类，比赛结束剩余时间，足球彩票交易参与人的心理情绪状态等因素而决定。如果说期货是一个只需要单纯考虑当前比分情况的一维品种的话，期权则是由 4 个因素互相交织而成的多维品种。
实际交易的期权品种，要比刚才所列举的足球彩票模型要复杂得多。实际交易中，到期收益的计算可能不会像模型一样简单，可能会涉及到平方等更繁琐的计算方式。对市场的主观判断，也会通过各种途径影响到期权价格。不仅如此，离到期日的剩余时间对期权价格的影响也同样复杂。
前面提到的 1W 彩票其实与看涨期权到期收益曲线有同样的收益结构。实际交易看涨期权是经常会碰到标的资产虽然在上涨，但看涨期权的价格反而下降的情况。1W 彩票也会遇到同样的情况。当中国队以 1:0 领先的情况下再添一球，现比分拉开为 2:0，离比赛结束还剩 20 分钟。
这时，持有 1W 彩票的人不断增多将使 1W 的价格持续上涨。但这些一窝蜂涌入购买1W 彩票的人们把价格从 1000 元推高至 25000 元，1W 的价格明显可以看做是被高估的彩票。只有当比分高于 3:0 才能获得 2 万元以上的收益。所以认为是被高估的价格也不为过。
那么在比赛结束前一分钟再进一球，使比分拉开成 3:0 时又会如何呢？
在我看来虽然彩票价格受到买卖双方心理状态的影响，但彩票价格会从 25000 元调整到 20000 万元。因为比分以 3:0 结束取得的收益是 2 个点即 2 万元，而剩下的 1 分钟里再进一球的可能性几乎是没有的。
所以就算进了一球，彩票的价格不升反降的情况在期权市场中也会经常发生。很多期权教材的开头都会讲到：指数上涨则看涨期权的价格会升高，指数下降则看跌期权的价格会升高的内容。但其实有时候在实际期权交易中经常能碰到标的资产与期权价格方向相悖的现象。
五
简单的交易策略：宽跨式套利策略
假设比赛双方的实力旗鼓相当，基本不会发生大胜或者大败的情况。这时最适合的彩票交易方法是什么？
我可能会选择卖出 3W,−3L 两种彩票，换句话说就是选择卖出虚值的看涨期权和看跌期权的策略。因为是实力相当的队伍，只要比分之差不大于 3，在比赛结束后我将会获得卖出彩票价格同等的收益。这样的交易方法在实际期权交易当中经常会用到。有些情况下指数上涨或者下跌的可能性都非常小。
2015 年 9 月之后的中国市场正是这样的情况。因为有国家队的介入，市场继续下跌也比较困难，人们对上涨又不抱有希望。那么此时如果有期权品种，就可以卖出看涨期权和看跌期权来获得双边的收益。
如果无法判断哪个队的实力更强，但知道他们的实力差距非常大时又应该如何？这时，我们可以选择的策略是买入 0W,0L 的策略。因为其中一个球队肯定会获胜，即使在比赛结束后一方的彩票价格成为了 0 元，但有另一边较高的彩票收益，所以从整体来看是有收益的。
当然，不同条件下需要选择的彩票是不同的，具体还要视情况而定。有时相比买入 0W,0L 彩票组合，更好的策略可能是买入 3W,3L 彩票组合。不管指数上涨还是下跌，只要觉得指数将会往一个方向走的话，买入看涨期权和看跌期权的交易策略是市场中经常使用的策略之一。
后面我们会继续分享上述 4 种因素怎么对期权价格产生影响。也只有在充分了解期权的特性之后，才能解决“到底是买入好是是卖出好？”“选择哪个品种（行权价）”“现阶段适用哪些策略？”等问题。如果投资人可以对这些问题对答如流，那么期权市场将会成为他们创收的新战场。
文章来源：濡圣投资（ID：DeltaExchange）
